Основы вероятности: события, И, ИЛИ, независимость

Прежде чем считать что-то сложное, освоим базовый язык случайности. Всего несколько простых правил — как комбинировать вероятности событий: складывать, перемножать, брать противоположное — лежат в основе почти всего дальнейшего, от A/B-тестов до спам-фильтров. Разберём их на наглядном примере: броске игрального кубика с шестью равновероятными исходами.

Как пользоваться. Внизу 6 клеток — это исходы броска кубика (1–6). Под каждой клеткой две кнопки: нажмите A, чтобы включить исход в событие A, и B — в событие B. Диаграмма Венна сверху сразу показывает, куда попал каждый исход.

● только A● только B● A и B (пересечение)● ни то, ни другое

Исходы кубика — нажимайте кнопки A / B под каждым:

P(A) = 3/6 = 0.50P(B) = 3/6 = 0.50P(A∩B) = 2/6 = 0.33P(A∪B) = 4/6 = 0.67

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0.50 + 0.50 − 0.33 = 0.67

Кликайте A/B под исходами, чтобы менять события — диаграмма и числа пересчитываются вживую. На Венне: левый серп — только A, правый — только B, линза посередине — пересечение (A и B), снаружи — исходы вне обоих событий.

Возьмём бросок кубика — шесть равновероятных исходов. Событие — это набор интересующих исходов: «чётное» = {2,4,6}, «больше трёх» = {4,5,6}. Кнопками A и B под клетками задайте два события (по умолчанию A — чётные, B — больше трёх). Диаграмма Венна сверху раскладывает все шесть исходов: левый круг — A, правый — B, общая линза — исходы, попавшие сразу в оба. Вероятность P(A) — доля клеток события: 3 из 6 = 0.5.

листать можно стрелками ← →

Зачем эти правила

Эти правила — не школьная формальность, а ежедневная арифметика аналитика. «Шанс, что хотя бы один из 1000 пользователей столкнётся с редким багом (p=0.1%)» считается через противоположное: 1 − 0.999¹⁰⁰⁰ ≈ 63%. Интуиция тут подводит, а правило — нет.

Перемножение независимых вероятностей объясняет и множественные сравнения (20 тестов, каждый с 5%-ным шансом ошибиться, → шанс хоть одного ложного срабатывания 1 − 0.95²⁰ ≈ 64%), и почему длинные совпадения подозрительны. Независимость — ключевое (и часто ложное) допущение, на которое всегда стоит смотреть.

Где это встречается

Надёжность систем: вероятность отказа дублированных независимых узлов перемножается, поэтому резервирование резко снижает риск — на этом стоит инженерия отказоустойчивости.

Игры и лотереи: шансы джекпота — это произведение независимых вероятностей, отсюда и астрономическая редкость. Те же правила — за расчётом рисков в страховании.

Определения

Исход и событие

исход — один результат опыта; событие — набор интересующих исходов.

По-простому: исход — что именно выпало; событие — про какие исходы мы спрашиваем.

Противоположное событие

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

удобно для «хотя бы один» через «ни одного».

По-простому: шанс, что НЕ случилось, — это единица минус шанс, что случилось.

Правило сложения (ИЛИ)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

для несовместных событий пересечение = 0.

По-простому: «A или B» — складываем шансы, но общую часть не считаем дважды.

Правило умножения (И)

P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)

у независимых событий вероятности перемножаются.

По-простому: «и то, и другое сразу» у независимых — перемножаем шансы.

Независимость

одно событие не меняет вероятности другого. Если меняет — события зависимы.

По-простому: знание про одно ничего не говорит про шанс другого.

Дальше →