Нормальное распределение (колокол)
У случайной величины есть распределение — а у распределений есть типовые формы. Одна встречается так часто, что получила имя: нормальное распределение, или «колокол». Разберёмся, как оно устроено и почему появляется повсюду.
PDF — плотность: сама высота это не вероятность; вероятность попасть в интервал = площадь под кривой на нём. Вся площадь = 1.
Симметричный «колокол»: большинство значений толпится у центра, к краям всё реже. μ задаёт, где стоит центр, σ — насколько широко значения расходятся (σ растягивает колокол шире и ниже, μ двигает его по оси). Появляется там, где величина складывается из множества мелких независимых случайностей — рост людей, погрешности измерений, отклонения деталей. Нажмите «насыпать» — гистограмма реальной выборки приближается к теоретической плотности.
Перед вами кривая нормального распределения. По горизонтали — значение, по вертикали — насколько часто оно встречается. Большинство значений толпится у середины, а к краям становится всё реже. Отсюда и форма колокола.
Что это значит
Главное, что даёт колокол, — описать целую гору данных всего двумя числами. Обычно, чтобы что-то сказать про величину, нужны сами данные. Но если форма нормальная, то μ (где стоит центр) и σ (насколько широко всё расходится) содержат всё остальное: чтобы ответить «какая доля людей выше 190 см?», достаточно μ = 178 и σ = 7 — перепись не нужна. Два числа заменяют собой тысячи наблюдений, ничего важного не теряя.
Второй подарок — общий язык для несравнимых вещей. Рост в сантиметрах, баллы теста в очках, погрешность детали в микронах напрямую не сопоставить. Но z-оценка переводит любое значение в одну шкалу — «на сколько σ значение отклонилось от центра», — и человек ростом 192 см (z = 2) оказывается ровно так же необычен, как студент с баллом на две сигмы выше среднего. Поэтому z-оценка встречается везде: от медицинских норм до кредитных скорингов.
И практический вывод: всё это работает, только пока форма действительно колоколообразная. Поэтому первый шаг — не считать σ и проценты, а посмотреть на гистограмму и убедиться, что перед вами колокол, а не асимметричный хвост, притворяющийся им.
Где это встречается
Рост взрослых людей почти идеально ложится в колокол. На том же устроены медицинские нормы: «нормой» считают значения близко к середине, а отклонение измеряют в σ.
И производство: деталь, выпавшая за ±3σ, помечается как брак — это и есть знаменитое «правило трёх сигм».
Колокол вошёл в моду в XIX веке благодаря Адольфу Кетле: он заметил, что рост и вес тысяч солдат ложатся в нормальную кривую, и придумал концепцию «среднего человека» — а заодно индекс массы тела, которым мы пользуемся до сих пор.
Определения
Когда метод врёт (допущения)
Правило 68-95-99.7 работает, только если данные действительно близки к нормальным. Реальные величины часто асимметричны (доходы, время сессии, чеки) — доли внутри σ-интервалов там другие, и «выброс за 3σ» может оказаться обычным хвостом.
Нормальность чаще появляется у СРЕДНИХ по выборкам (так работает ЦПТ), а не у сырых данных. Прежде чем применять правило к отдельным наблюдениям, проверьте форму на гистограмме.